1) Traitement Quantique de l’Information, modèles de spins en interaction
Je m'intéresse à la description fine des espaces de Hilbert à quelques qubits (spins 1/2), en particulier des niveaux d'intrication quantique. J'utilise pour cela des outils géométriques, fibrations de Hopf de sphères de dimension élevée, ou encore la représentation de Majorana (pour les systèmes de spins symétriques). Dans ce dernier cas, avec P. Ribeiro, nous avons ouvert une voie en reliant les invariants d'intrications aux invariants classiques de transformations de Moebius.
J'ai également entrepris l'étude des anyons de Fibonacci (dans le cadre du calcul quantique topologique), avec maintenant l'intention de mieux comprendre comment l’intrication émerge des échanges entre anyons (groupe de tresse associé). 3 anyons forment un qubit, on peut commencer par tresser deux ensembles de trois anyons pour réaliser un système à deux qubits. Le problème est plus complexe, car l’espace de Hilbert associé à 6 anyons est de dimension plus grande que celle de deux qubits (problème de « leakage »). 3 anyons forment un qubit, on peut commencer par tresser deux ensembles de trois anyons pour réaliser un système à deux qubits. Le problème est plus complexe, car l’espace de Hilbert associé à 6 anyons est de dimension plus grande que celle de deux qubits (problème de « leakage »).
Je m'intéresse enfin à des problèmes de "marches quantiques", en dimension quelconque. Il s'agit d'une sorte de généralisation des marches aléatoires classiques, dans laquelle un marcheur (quantique) se déplace sur un graphe d'une façon déterminée par son état interne (la "pièce" quantique). Cet état fait l'objet d'une transformation unitaire à chaque pas de temps. On s'intéresse à la façon dont la fonction d'onde du marcheur s'étale dans le temps, en fonction de la géométrie du graphe (periodique, quasipériodique, désordonné), et de la nature de la pièce quantique.
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2) Systèmes frustrés et désordonnés
J'ai commencé récemment une étude visant à modéliser des structures nanométriques confinées en géométrie cylindrique, pour des systèmes géométriquement frustrés. Ces structures, lorsqu’elles sont non confinées, ont fait l’objet de nombreuses études dans l’approche dite « d’espace courbe », prédisant, dans certaines conditions, des structures réelles composées d’un arrangement complexes de défauts topologiques. Or, un argument mathématique simple (lié à ce que l’on appelle la projection géodésique) suggère des configurations différentes, plus proches de l’ordre idéal non frustré, si l’on confine ces structures en environnement cylindrique. Je vais en étudier les conséquences pour des systèmes de sphères dures et des nano-fils covalents. L’apparition de défauts topologiques et la compétition avec l’ordre cristallin seront étudiées en fonction du rayon du domaine cylindrique